Внешнее произведение групп

                Определение. Пусть заданы группы . Пусть , т.е.  с операцией . Множество  с этой операцией называется внешним произведением групп .

                Теорема.  - группа.
Доказательство.
                Единичный элемент - , обратный элемент .

                Рассмотрим множества .

                Упражнение. Докажите, что , отображение  задает изоморфизм  и  и  - прямое произведение. Таким образом прямые и внешние произведения можно отождествлять.

                Теорема (факторизация по множителям). Пусть ,  и пусть , тогда  и .
Доказательство.
                Рассмотрим отображение , если , то . Пусть , тогда  и , следовательно  - это гомоморфизм, причем сюръективный, т.к. . Ядро этого гомоморфизма - это , т.е. . Следовательно,  и по теореме о гомоморфизме .

                Упражнение. Докажите, что циклические группы порядка  изоморфны , бесконечные циклические группы изоморфны , кроме того .

Дискретные подгруппы в алгебре

Группы алгебра

Алгебра с умножением называется алгеброй Ли

Определение циклической подгруппы

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Вернуться в оглавление: Алгебра