Математические свойства дисперсии

1. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:

.

2. Если все значения вариан разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз:

3. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины (А), отличающейся от средней арифметической , то он всего будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

.

Причем больше на определенную величину – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной, т.е. на

Таким образом,

или

где - средний квадрат отклонений от средней арифметической ;

- средний квадрат отклонений от произвольной величины (А).

Значит, дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она обладает свойством минимальности.

4. Если А = 0, то

или .

или

Средний квадрат отклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

Этой формулой расчета дисперсии пользуются более широко, особенно при машинной обработке данных.

Пример 3. Расчет дисперсии по формуле:

Произведено продук-ции ра-бочими, шт. Х	Число рабочих f
Итого

Порядок расчета дисперсии :

1) Определяется средняя арифметическая по формуле: ;

2) Возводится в квадрат средняя арифметическая:

;

3) Возводится в квадрат каждая варианта ряда: ;

4) Перемножаются квадраты вариант на частоты:

;

5) Найти сумму произведения квадратов вариант на частоты: ;

6) Разделить сумму произведения квадратов вариант на частоты на сумму частот:

7) Определяют разность между средней из квадратов вариант и квадратом средней:

;