Лекция 4 «смешанное произведение векторов»

1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: ( х ) . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения ( х ) . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор = х (см. рис. 22).

Рис. 22.

Имеем: ( х ) = · = | |· пр , | | = | х | = S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах и , пр = Н для правой тройки векторов и пр = -Н для левой, где Н — высота параллелепипеда. Получаем: ( х ) = S(±H), т. е. ( х ) = ±V, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами , и .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

2. Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестанов­ке его сомножителей, т. е. ( х ) = ( х ) = ( х ) .

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. ( х ) = ( х ).

Действительно, ( х ) = ±V и ( х ) = ( х ) = ±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов , , и , , — одной ориентации.

Следовательно, ( х ) = ( х ). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов ( х ) в виде без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. = — , = — , = — .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомно­жителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если = 0, то , , — компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V ≠ 0. Но так как = ±V, то получили бы, что ≠ 0. Это противоречит условию: = 0.

Обратно, пусть векторы , , — компланарны. Тогда вектор = x будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , и, следовательно, _┴ . Поэтому · = 0, т. е. = 0.

3. Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы , , . Найдем их смешанное произведение, используя выраже­ния в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче, так как правая часть равенства представляет собой разложение опре­делителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

4. Некоторые приложения смешанного произведения