Прямолинейное движение

При прямолинейном движении (рис. 28, а):

— траектория материальной точки — это прямая линия,

— модуль вектора перемещения и путь равны,

— направление скорости не изменяется,

— нормальное ускорение равно нулю .

Криволинейное движение

При криволинейном движении (рис. 28, б:

— траектория материальной точки — это кривая линия,

— модуль вектора перемещения и путь не равны,

— направление скорости изменяется,

— нормальное ускорение не равно нулю.

Равномерное движение

При равномерном движении (рис. 28, в):

— за любые равные интервалы времени тело проходит равные отрезки пути,

— модуль скорости не изменяется,

— тангенциальное ускорение равно нулю.

при Δ t ₁ = Δ t ₂ = Δ t ₃ = …; S ₁ = S ₂ = S ₃ =… и v ₁ = v ₂ = v ₃ =…

Рис. 28, в

2.4. Неравномерное движение

При неравномерном движении (рис. 28, г):

— за равные интервалы времени тело проходит неравные отрезки пути,

— модуль скорости изменяется,

— тангенциальное ускорение не равно нулю.

при Δ t ₁ = Δ t ₂ = Δ t ₃ = … S ₁ ≠ S ₂ ≠ S ₃ ≠… и v ₁ ≠ v ₂ ≠ v ₃ ≠…

≠ 0

Рис. 28, г

Неравномерное движение может быть ускóренным или замéдленным.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Что такое материальная точка? Автомобиль — это материальная точка?

2. Что характеризует мгновенная скорость?

3. Что характеризует средняя скорость?

4. Какое направление имеет мгновенная скорость?

5. При каком движении путь и модуль перемещения

равны?

6. Что характеризует нормальное ускорение?

7. Что характеризует тангенциальное ускорение?

прямолинейный	rectilinear	rectiligne	rectilíneo
криволинейный	curvilinear	curviligne	curvilíneo
равномерный	uniform	uniforme	uniforme
неравномерный	non- uniform	nonuniforme	no uniforme
переменный	variable	variable	variable

3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

П р я м о л и н е й н о е р а в н о м е р ­н о е д в и ж е н и е — это движе­ние, при котором модуль и направление скорости не изменяются.

При прямолинейном равномерном движении вектор скорости постоянная величина: = const. Следовательно, при этом движении ускорение равно нулю.

При прямолинейном равномерном движении средняя и мгновенная скорости равны между собой:

= .

3.1. Формулы прямолинейного равномерного движения

При прямолинейном движении поло­жение точки характеризует одна коорди­ната. Нарисуем ось координат ОХ, кото­рая параллельна траектории движения точки (рис. 29):

х ₀ — это начальная координата (координата точки в начальный момент времени t ₀),

х — это координата точки в момент време­ни t,

— это перемещение точки за интервал времени Δ t = t - t_{0 .}

Из определения скорости находим формулу перемещения точки за интервал вре­мени Δ t

.

Рис. 29

В проекциях на ось координат ОХ полу­чаем

Δ r_x = v_x ·Δ t, или x - x ₀ = v_x ·Δ t, откуда

х = х ₀ + v_x · (t - t ₀) — это формула зависимости координаты

тела от вре­мени t.

v_x = — это формула зависимости

проекции скорости на ось ОХ от времени.

Так как Δ r = S, получаем:

S = v ·Δ t — это формула пути.

3.2. Графики прямолинейного равномерного движения

График зависимости проекции скорости от времени.

При прямолинейном равномерном движении скорость тела не изменяется. Поэтому график зависимости проекции скорости от времени — прямая ли­ния, параллельная оси времени (рис. 30).

По графику зависимости проекции скорости от времени можно найти путь, пройденный телом за интервал времени Δ t. Путь тела S за интервал времени Δ t определяется площадью прямоугольника ABCD:

S = AB·AD = v ·Δ t.

График зависимости координаты точки от времени x = x (t).

Из формулы зависимости координа­ты точки от времени х = х ₀ + v_x × t (при t ₀ = 0) следует, что координата — линейная функция времени. Поэтому график х = x (t) — прямая линия, которая обра­зует угол a с осью времени (рис. 31). По графику зависимости координа­ты точки от времени можно найти:

— координату точки в любой момент вре­мени x(t),

— путь за любой интервал времени S =|Δ r_x | = |Δ x |,

— проекцию скорости v_x = .

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. При каком движении модуль мгновенной скорости равен модулю средней скорости?

2. Почему при прямолинейном равномерном движе- нии тангенциальное и нормальное ускорения равны нулю?

3. Какой вид имеет график зависимости ско­рости от времени для прямолинейного равномер­ного движения?

график	graph	graphe	gráfica
зависимость	dependence	dépendence	dependencia
зависеть	depend	dépendre	depender
линейная функция	linear function	function linéaire	functión lineal
образовать	make	former	formar
угол	angle	un angle	un ángulo
таблица	table	table	tabla

4. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

При п р я м о л и н е й н о м н е р а в ­- н о м е р н о м д в и ж е н и и скорость те­ла изменяется по модулю, но не изме­няется по направлению. При этом движе­нии нормальное ускорение равно нулю: а тангенциальное ускорение не равно нулю При прямолиней- ном неравномерном движении полное ускорение равно тангенциальному ускорению: .

Мы будем изучать частный случай прямоли- нейного неравномерного движе­ния — прямоли- нейное р а в н о п е р е м е н н о е движение.

4.1. Прямолинейное равнопеременное движение

П р я м о л и н е й н о е р а в н о п е р е м е н н о е д в и ж е н и е — это движение, при котором скорость тела за любые равные ин­тервалы времени изменяется на равную величину (рис. 32). Это значит, что если

то ,

тогда , или

.

При прямолинейном равнопеременном движении ускорение не изменяется, т.е.

.

4.2. Основные формулы прямолинейного равнопеременного движения

Ускорение

По определению ускорения:

или (Ⅰ.1)

Мгновенная скорость

Формулу зависимости скорости от времени получаем из формулы (1.1)

(Ⅰ.2)

или в проекциях на ось ОХ

. (Ⅰ.3)

Средняя скорость ср.

По определению для любого

движения. При равнопеременном движе­нии средняя скоро­сть может быть вычислена по формуле

, (Ⅰ.4)

так как при равнопеременном движении скорость — линейная функция времени.

Перемещение и координата х

Формулу зависимости перемещения от времени мы можем получить из фор­мулы

Подставим сюда формулу средней скоро­сти (Ⅰ.4), а затем формулу мгновенной скорости (Ⅰ.2) .

После вычислений получаем

(Ⅰ.5)

В проекциях на ось ОХ:

откуда находим формулу зависимости координаты точки

от времени

. (Ⅰ.6)

Из формул

,

,

получаем еще одну формулу — формулу зависимости проекции перемещения от скорости тела:

.

Равнопеременное движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.

При р а в н о у с к о р е н н о м д в и ж е н и и модуль скорости уве­личивается: v ＞ v _0, поэтому вектор скорости и вектор уско­рения имеют одинаковые направле­ния: .

При р а в н о з а м е д л е н н о м д в и ­ ж е н и и модуль вектора скоро­сти уменьшается: v ＜ v ₀, поэтому вектор скорости и вектор ускоре­ния имеют противоположные направления: .

4.3. Графики равнопеременного движения

График зависимости ускорения от вре­мени a_х = a_х (t)

При равнопеременном дви­жении =const. Поэтому график а _х = а _х(t)— это прямая линия, параллель­ная оси времени (рис. 33).

График зависимости проекции скорости от вре­мени v_х = v_х (t).

υ x (t)

Из формулы (при t₀ = 0) следует, что скорость есть линейная функция времени. Поэтому график v_х= v_х (t) — это прямая линия, которая образует

угол β с осью времени (рис. 34).

С

υ2x

Путь тела за интервал времени Δt определяется площадью трапеции ABCD:

В

υ1x

ax > 0 υx0 >0 t 0 = 0

b

υ0x

График зависимости координаты точки от времени x = x(t)

Из формулы координаты

D

А

D t

t 2

t 1

t

О

(при t ₀ = 0) следует, что график x = x(t) — парабола (рис. 35).

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Почему при прямолинейном неравномерном движении а_п = 0?

2. Почему при прямолинейном неравномерном
движении а _τ ≠ 0?

3. Какой вид имеет график зависимости скорости от

времени для равнопеременного движе­ния?

движение равно- переменное	motion uniformly changing	mouvement uniformément varié	movimiento unifor- memente variado
движение равно- замедленное	motion uniformly retarded	mouvement uniformément retardé	movimiento unifor- memente retardado
движение равно- ускоренное	motion uniformly accelerated	mouvement uniformément accéléré	movimiento unifor- memente аcelerado

4.4. Свободное падение

С в о б о д н о е п а д е н и е — это движение тела в пустоте из состояния покоя под действием притяжения тела к Земле.

Свободное падение — это прямолинейное равноускоренное движение. Все тела в данном месте Земли движутся при свободном падении с одинаковым ускорением. Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается (буквой) “ g ”. Численное значение g» 9,8 м/с². Вектор направлен верти­кально вниз.

При свободном падении векторы уско­рения и скорости имеют одинаковые направления (рис. 36).

Формулы свободного падения мы по­лучаем из формул прямолинейного рав­нопеременного движения. (См. 34) Считаем, что ось ОУ направлена вертикально вверх, начало координат выбираем на поверхно­сти Земли.

Для свободного падения в этой системе координат:

начальная координа­та y_o = h;

проекция на­чальной скорости v_0y = 0;

проекция ускорения на ось ОУ а_у = - g.

Уравнение зависимости проекции скорости v_y от времени t (t₀ = 0) имеет вид v _y = - gt.

Уравнение зависимости координаты у от време­ни t t₀ = 0) имеет вид .

Откуда время падения тела с высоты h (у = 0) находим по формуле

Формула зависимости проекции перемещения от скорости будет иметь вид

или или

откуда модуль скорости падения тела с высоты h

(у = 0, у₀ = h) можно найти по формуле:

4.5. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Движение тела, брошенного вертикально вверх,― это движение, при котором:

― начальная скорость тела направлена вертикально вверх,

― тело движется равнопеременно с постоянным ускорением , направленным вертикально вниз.

Это движение состоит из двух этапов: движения тела вертикально вверх и движения вертикально вниз.

При движении тела вертикально вверх модуль скорости уменьшается, поэтому вектор ускорения и вектор скорости имеют противоположные направления .Это равнозамедленное движение (рис. 37).

На максимальной высоте, равной Н_mах, скорость тела становится равной нулю. После этого начинается второй этап движения — равноускоренное движение.

Можно доказать, что время подъёма тела на максималь­ную высоту H_mах равно времени падения с этой высоты до того уровня, с которого бросили тело:

Δ t _{подъёма} = Δ t _{падения}

(Δ t _{(от точки А до точки В)} = Δ t _{(от точки В до точки А)}).

Начальная скорость тела, брошенно­го вертикаль- но вверх, по модулю равна конечной скорости свободного падения

v₀ = v _п.

Формулы движения тела, брошенного вертикаль- но вверх, мы получаем из фор­мул равнопеременного движения. Считаем, что ось ОУ направлена вертикально вверх, начало координат выбираем на поверхно­сти Земли.

Для движения тела, брошенного вер­тикально вверх в этой системе координат (рис. 37):

начальная координа­та: у ₀ = 0;

проекция начальной скорости на ось О У: v_0у = v₀;

проекция ускорения на ось ОУ: а_у = - g.

Уравнение зависимости проекции скорости v_у от времени t (t ₀ = 0) имеет вид

.

Уравнение зависимости координаты у от време­ни t при t ₀ = 0 имеет вид

.

Зависимость модуля скорости v от ко­ординаты у

v ₀² - v ² = 2g (у - y ₀).

Максимальная высота подъема тела у = Н_max, если у ₀ = 0

Н_max =

Скорость тела на максимальной высоте (h = Н_mах)

v _H = 0.

Время подъема тела на высоту Н_mах

Δ t _{подъёма} = t _H = .

Полное время движения тела Δ t _{движения} = t _п - t ₀

t _п- t ₀ =

Время падения тела с высоты Н_{т ах} на Землю

t _п - t_H = .

Модуль конечной скорости падения тела на Землю

v _п = v ₀.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Почему свободное падение — это равнопе- ременное движение?

2. Почему свободное падение — это равно- ускоренное движение?

3. Как изменяется скорость при подъёме?

4. Как изменяется скорость при падении?

частный случай	special case	cas particulier	caso particular
свободное падение	free fall	chute libre	caida libre
падать	fall	tomber	caer
вертикально вниз	vertically downwards	verticalement vers le bas	hacia abajo
вертикально вверх	vertically upwards	verticalement vers le haut	hacia arriba
бросить	throw	lancer	lanzar
высота	height	hauteur	altura
этап	stage	étape	etapa

5. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ

Д в и ж е н и е т о ч к и п о о к р у ж н о с- т и — это криволинейное периодиче­ское движение.

Т р а е к т о р и я д в и ж е н и я — кри­вая линия — окружность (рис. 38). На рисунке 38:

точка А — положение материальной точки в момент времени t ₀;

точка В — положение материальной точки в момент времени t;

А ︶ В — дуга, которую проходит мате­риальная точка за интервал времени Δ t = t - t ₀;

S — путь, который проходит точка, равен длине дуги А ︶ В;

точка 0 — центр окружности и нача­ло координат;

и — радиусы-векторы материаль­ной точки в моменты времени t ₀ и t;

Δφ — угол поворота радиуса-вектора, за интервал времени Δ t.

Длина окружности ℓ = 2πR, где R — радиус окружности.

Основные кинема­тические характе­ристики движения по окружности

Р а в н о м е р н о е д в и ж е н и е п о о к р у ж н о с т и — это периодическое движение, при котором точка проходит дуги одинаковой длины за любые равные интервалы времени.

П е р и о д в р а щ е н и я — это время одного оборота. Период обозначается буквой Т.

Единица измерения периода в СИ и в систе­ме СГС — одна секунда [ T ] = 1 с.

Ч а с т о т а в р а щ е ни я — это фи­зическая величина, равная числу оборо­тов, которые совершает точка за единицу времени. Если за интер­вал времени Δ t точка сделала n оборотов, то частота равна

, при этом D t = n × T, тогда

Связь между периодом Т и частотой f:

.

Единица частоты в СИ и в системе СГС — один оборот в секунду: [ f ] = 1/с = 1 с ^-1.

Как мы уже знаем (стр.24) мгновенная л и н е й н а я с к о р о с т ь — это фи­зическая величина, равная пределу отношения перемещения к интервалу времени, за который это перемещение совершается, когда Δ t ® 0 (Δ t стремится к нулю):

.

При равномерном движении по ок­ружности (рис. 39):

— материальная точка проходит дуги равной длины за равные интервалы времени: длина дуги А︶В = S ₁, длина дуги В︶С = S _2. При Δt ₁ = Δ t ₂

А︶В = В︶С, то есть S ₁ = S ₂;

— модуль линейной скорости не изме­няется

— за время, равное одному периоду, тело проходит путь, равный длине окружности, то есть,

если Δ t = T, то S = 2π R,

поэтому модуль линейной скорости равен .

Вектор линейной скорости в каждый момент времени направлен по касательной к окружности.

Так как v = const, то тангенциальное ускорение равно нулю .

Так как направление вектора линейной скорости изменяется, то нормальное ускорение не равно нулю: Можно доказать, что модуль нормального ускорения определяется по формуле

Полное ускорение .

В каждой точке окружности вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности .

Ускорение точки при равномерном движении по окружности (нормальное ускорение) назы­вают центростремительным ускорением.

У г л о в а я с к о р о с т ь — это физи­ческая величина, равная пределу отношения угла поворота радиуса-вектора точки к интер­валу времени, за который этот поворот происходит, когда Δ t ® 0 (Δtстремится к нулю):

Единица угловой скорости в СИ и си­стеме СГС — 1 радиан в секунду [ω] = 1 рад/с =1 с^-1.

(Угол в 1 радиан — это центральный угол, дуга которого по длине равна ра­диусу окружности: 2π радиан =360°, по­этому 1 радиан» 57,3°.)

При равномерном движении по ок­ружности:

— радиус-вектор точки за равные интервалы времени делает повороты на равные углы

Δφ₁ = Δφ₂ = ¼ при Δ t ₁ = Δ t ₂ =¼;

— модуль угловой скорости — постоянная величина:

= const;

— за время, равное одному периоду,
угол поворота радиуса-вектора равен Δφ = 2π радиан

то есть, если Δ t = Т, то Δφ = 360⁰ = 2π,

поэтому формула угловой скорости

Из сравнения формул угловой и ли­нейной скорости между ними следует связь:

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Почему равномерное движение по окружности — это периодическое движение?

2. Какой путь проходит точка за время, равное одному периоду?

3. Как направлен вектор центростремительно­го ускорения?

окружность	circumference	circonférence	circunferencia
вращение	rotation	rotation	rotación
дуга	arc	arc	arco
периодическое движение	periodic motion	mouvement périodique	movimiento periódico
период	period	périod	período
оборот	revolution	tour	revolución
частота	frequency	fréquence	frequencia
линейная скорость	linear velocity	vitesse linéaire	velocidad lineal
радиус	radius	rayon	radio
поворот	rotation	rotation	vuelta
угловая скорость	angular velocity	vitesse angulaire	velocidad angular

Основные формулы кинематики Формулы прямолинейного равномерного движения в проекциях на ось координат ОХ:
	если , то > 0 если , то < 0
Формулы прямолинейного равнопеременного движения (равноускоренного движения, равнозамедленного движения) в проекциях на ось координат ОХ
только при движении в одну сторону , если v > v 0 , если v < v 0	! всегда! При равноускоренном движении v > v 0, поэтому При равнозамедленном движении v < v 0, поэтому v 0 х ― проекция скорости на ось 0Х v 0― модуль скорости vх ― проекция скорости на ось О Х v ― модуль скорости ах ― проекция вектора ускорения на ось О Х а ― модуль вектора ускорения

Формулы равномерного движения по окружности
= 2π Rf ,	,

Ⅱ. ДИНАМИКА

Динамика — это часть механики, которая изучает механическое движение тел и причины, вызывающие изменение характеристик этого движения.