Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны. Сходимость знакочередующихся рядов устанавливается с помощью признака Лейбница:

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают, т.е. u₁>u₂>….>u_n>… и предел его общего члена при равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.

Сходящиеся по признаку Лейбница знакочередующиеся ряды дополнительно исследуют на абсолютную и условную сходимость.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются.

Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда: .

Решение. Сходимость этого знакочередующегося ряда установим с помощью признака Лейбница, для чего проверим выполнение двух условий:

1) предел общего члена ,

2) абсолютные величины членов ряда убывают, так как

Следовательно, ряд сходится.

Исследуем его на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин данного ряда: , так как , т.е. члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, то по признаку сравнения ряд расходится. Поэтому, ряд - условно сходящийся.

Функциональные ряды

Функциональным рядом называется ряд , где u_n(x) – функция. Ряд называется сходящимся в точке x₀ , если сходится числовой ряд .

Совокупность , для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве X, если на этом множестве сходится ряд .

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве X если для любого ε >0 найдется такое N=N(ε), что для всех n>N выполняется | | < ε для всех .

Признак Вейерштрасса:

Функциональный ряд сходится на множестве X равномерно, если | u_n( x) | ≤ a_n для всех и числовой ряд сходится. Ряд называется мажорантой ряда .

Свойства равномерно сходящихся рядов:

Пусть функциональный ряд равномерно сходится для и имеет сумму S(x). Тогда справедливы теоремы:

1. Если в точке непрерывна u_n(x), то в этой точке непрерывна функция S(x).

2. Если u_n(x) непрерывна на , то ряд можно почленно интегрировать:

3. Если u_n(x) имеют непрерывные производные и функциональный ряд сходится равномерно, то ряд можно почленно дифференцировать:

и функция непрерывна на .

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд, составленный из степенных функций:

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при х = х_1, то он абсолютно сходится при |х |< |х₁|; если ряд расходится при x = x₂ , то он расходится при |х |> |х₂|.

Число R называется радиусом сходимости, если для |х| < R ряд сходится, а при |х| >R – расходится. Степенные ряды в интервале (-R, R) обладают всеми свойствами равномерносходящихся функциональных рядов.

Радиус сходимости R =

Степенные ряды Тейлора и Маклорена

Пусть f(x) – бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки x₀ . Разложение функции f(x) в ряд Тейлора:

При x=0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена. Для разложимости f(x) в ряд Телора достаточно, чтобы для всех n, где M – некоторое число.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена:

Первые три ряда имеют радиус сходимости , а у остальных R =1.

Ряд Фурье.

Непрерывная функция f(x), имеющая на интервале (-l,l) конечное число экстремумов, разлагается в ряд Фурье:

, где

;

Если f(x) – четная (нечетная) функция, то коэффициенты b_n (a_n) равны нулю.

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение. Общий член данного ряда , коэффициент ряда

, следовательно, .

Определим радиус сходимости: . Интервал сходимости (-2;2). Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала: при х=-2 имеем знакочередующийся ряд.

или

этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как , и абсолютные величины членов ряда убывают: ; при х=2 имеем знакоположительный ряд , или , который расходится (гармонический ряд). Таким образом, данный степенной ряд сходится в промежутке: [-2;2).

Пример 4. Используя разложение в ряд, вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции:

При х=-0,2 получим:

Если отбросить члены ряда, начиная с пятого, то погрешность вычисления будет по абсолютной величине меньше, чем .

Поэтому, для вычисления с заданной точностью можно ограничиться четырьмя членами ряда: .

Пример 5. Вычислить приближенно определенный интеграл: , взяв два члена разложения подынтегральной функции в ряд, и оценить погрешность вычисления.

Решение. Найдем разложение функции: в ряд, используя биномиальный ряд:

;

при m=-1/2 и, заменяя х на х³, получим:

.

Взяв только два члена разложения, получим: .

Погрешность полученного приближенного значения интеграла не превосходит по абсолютной величине третьего отброшенного члена ряда:

.

Упражнения.

6.1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

6.2. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

6.3. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

6.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

6.5. Найти область сходимости степенного ряда:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) ; q) .

6.6. Приложение рядов к приближенным вычислениям.

a) Вычислить ln1,3 с точностью до 0,0001, пользуясь разложением функции в ряд Маклорена y = ln (1+x).

b) Вычислить приближенно с точностью до 0,0001, пользуясь разложением функции y = (1+x)^m в ряд Маклорена.

c) С точностью до 0,0001 вычислить приближенно используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.