Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла принимает следующий вид: .

Применение этой формулы рациональнее, чем предварительное вычисление неопределенного интеграла, особенно когда приходится несколько раз в одном примере применять формулу интегрирования по частям.

 

Пример 1

Вычислить .

Решение.

Пусть ; тогда , .

Имеем .

 

Ответ.

 

Пример 2

Вычислить .

Решение.

Пусть , ; тогда , .

Имеем

Ответ.

Пример 3

Вычислить .

Решение. Пусть , тогда

Имеем (1).

Вычислим Пусть тогда

Имеем (2)

 

 

Подставляя в найденное значение , получаем

 

Ответ.

 

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается идея метода замены переменной?

2. Как определяются новые пределы интегрирования при замене переменной?

3. В чем суть формулы интегрирования по частям?

4. Что происходит с пределами интегрирования в случае применения формулы интегрирования по частям?

 

Примеры для самостоятельного решения

Решить методом замены переменной.

1) 11) 21)

2) 12) 22)

3) 13) 23)

4) 14) 24)

5) 15) 25)

 

6) 16) 26)

 

7) 17 27)

 

8) 18) 28)

 

9) 19) 29)

 

 

10) 20) 30)

 

 

Решить по формуле интегрирования по частям:

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9)

 

 

3 Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла