2020-10-12
1510
События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте. Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.
Теорема: Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
или 
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события 
, вычисленная при условии, что произошло событие 
, называется условной вероятностью события относительно события . Эта вероятность обозначается 
.
Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого: 
.
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий.
Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.
|
|
|
Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий
.
События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.
Теорема: Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 
.
В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.
Пусть события 
, 
,..., 
независимы и известны вероятности этих событий: 
, 
,..., 
. Обозначив вероятности противоположных событий , ,..., . Обозначив вероятности противоположных событий 
, 
,..., 
, найдем вероятность того, что ни одно из событий , ,..., в опыте не наступит: 
... 
.
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного события
... .
Если некоторое событие совершается с одним из 
несовместимых событий , ,..., , образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности
,
где 
– вероятность события , 
– условная вероятность события .
Для определения вероятности события при условии, что произошло событие , используется формула Байеса 
. Если при проведении испытаний вероятность появления события не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно 
раз события в серии из – независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 
:
|
|
|
, где 
, 
.
В ряде случаев требуется определитель вероятности появления события менее раз 
, более раз 
, не менее раз 
, не более раз 
. В этих случаях могут быть использованы формулы
,
,
,
.
При больших и малых вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона
, 
– пр.
Задача 1. В партии из 
деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 
стандартных.
Решение:
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь деталей из деталей, т.е. 
– числу сочетаний из элементов по .
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди деталей ровно стандартных): стандартных деталей можно взять из стандартных деталей 
способами; при этом остальные – деталей должны быть нестандартными; взять же – нестандартных деталей из – нестандартных деталей можно 
способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
.
Задача 2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов.
Решение:
Общее число элементарных исходов равно 
. Число благоприятствующих исходов определяется как произведение 
, где 
– число способов выбора АО – банкротов из четырех. Но с каждым способом такого выбора могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Таких будет 
. Искомая вероятность равна 
;
;
;
.
Задача 3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие ).
Решение:
I способ. Условие – хотя бы один из трех взятых учебников в переплете будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: – один учебник в переплете,
– два учебника в переплете,
– три учебника в переплете.
Интересующее нас событие можно представить в виде суммы событий:
. По теореме сложения, 
; 
; 
;
II способ. События (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и 
(ни один из взятых учебников не имеет переплета) – противоположные, поэтому 
(сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице. Отсюда 
. Вероятность появления события (ни один из взятых учебников не имеет переплета) 
. Искомая вероятность 
.
Задача 4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны 
и 
. Найти вероятность появления только одного из этих событий.
Решение:
– появилось только событие ;
– появилось только событие .
Появление события равносильно появлению события 
появилось первое событие и не появилось второе, т.е. 
. Появление события равносильно появлению события 
(появилось второе событие и не появилось первое, т.е. 
. Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий и , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий и . События и не совместимы, поэтому применима теорема сложения:
.
Остается найти вероятности каждого из событий и . События и независимы, следовательно, независимы события и , а также 
и , поэтому применима теорема умножения:
;
.
Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из и :
.
Задача 5. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
|
|
|
Решение:
– первым отобран мужчина;
– вторым отобран мужчина. Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был мужчина, т.е. условная вероятность события следующая: 
– третьим отобран мужчина.
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность события такова: 
. Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, 
.
Задача 6. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 
; 
; 
; 
.
Решение:
Мост будет разрушен (событие ), если хотя бы одна бомба попадет в цель.
.
Задача 7. На автозавод поступили двигатели трёх моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 двигателей и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 
; 
; . Найти вероятность того, что: а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?
Решение:
– наугад взятый двигатель проработает без дефектов;
Можно выдвинуть три гипотезы:
– двигатель изготовлен на первом заводе;
– двигатель изготовлен на втором заводе;
– двигатель изготовлен на третьем заводе.
Вероятности этих гипотез таковы: 
; 
; 
. Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:
.
.
б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдём по формуле Байеса:
,
.
Задача 8. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «» равна . Найти вероятность того, что холодильник потребуется:
|
|
|
а) не менее чем двум покупателям;
б) не более чем трем покупателям;
в) всем четырем покупателям.
Решение:
а) не менее чем двум покупателям, – это означает, что потребуется двум покупателям, или трем или четырем.
Выясним эту вероятность, используя формулу Бернулли:
;
; 
; 
;
.
б) вероятность того, что холодильник потребуется не более чем трём покупателям означает, что никому не потребуется или одному покупателю, или двум. или трём, т.е.
;
;
в) вероятность того, что холодильник потребуется всем четырём покупателям, т.е.
.
Случайные величины
Закон распределения вероятностей дискретной
случайной величины.
Определение: Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Определение: Дискретной случайной величинойназывается такая, значения которой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины 
задают все значения 
, 
, 
, …, 
, которые она может принять, и вероятности появления этих значений , , , …, 
.
Определение: Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем 
:
| |  | | ... | |
| | |  | ... | |
Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения 
, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.
Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения 
, которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что ДСВ примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения , т.е. 
.
Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания , , , …, , то можно задать в виде
Функцию распределения можно представить графически в виде ступенчатой функции
 | |||||||
| | | | |||||
Определение: Биноминальным называют закон распределения ДСВ 
– числа появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения 
(числа появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:
Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу
,
где – число появлений события в независимых испытаниях, 
, и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Закон распределения Пуассона является предельным случаем биноминального распределения, его часто еще называют «законом редких чисел», т.к. 
, 
, 
. Обычно для его применения достаточно 
; 
.
Задача 9. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Построить ряд распределения числа попаданий мяча в корзину.
Решение:
Пусть – случайная величина числа попаданий мяча в корзину. Баскетболист может не попасть ни разу, один раз, два раза и все три раза,
т.е. 
, 
, 
, . Вероятности вычисляем по формуле Бернулли,
при этом 
; 
; 
Проверим выполнение 
.
Ряд распределения случайной величины числа попаданий мяча в корзину при трех бросках имеет вид
| |  |  |  |  |
| |  |  |  |  |
Составим функцию распределения :
Построим функцию распределения
| | |||||
 | |||||
| |||||
|
 | |||
 | |||
|
|
 | | ||||
 | |||||
|
|
|
|
х
Задача 10. В партии из 25 кожаных курток пять имеют скрытый дефект. Покупают три куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения.
Решение:
Пусть – случайная величина числа дефектных курток среди купленных, она может принимать значения: 
, , , 
. Для определения вероятности появления каждого из этих значений воспользуемся формулой:
,
где 
; ; ; – число дефектных курток, 
– курток без дефекта; 
.
Вычисляем соответствующие вероятности:
; 
; 
; 
; 
Проверим условие , т.е.
.
Построим многоугольник распределения.
 | |||
| | |||
|
|
|
|
|
|
 | |||
| | |||
|
|
|
|
|
| | | | |
| ||
| |  |  |  |  |
Задача 11. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.
Решение:
По условию, 
, 
, 
. События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, число велико, а вероятность мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона 
. Найдём : 
.
Искомая вероятность 
.
