Числовые системы в школьном курсе математики

Внеклассные и факультативные занятия по математике.

Расширение числовых множеств.

Понятие числа принадлежит к числу фундаментальных понятий. Оно возникло из потребностей практической деятельности человека.

Натуральные числа; дробные числа; отрицательные; иррациональные; комплексные.

Накопление сведений о числах и операциях над ними оформились как математические теоремы лишь во второй половине 19 века.

В современных теоретических построение принято рассмотрение следующей последовательности числовых множеств: натуральные числа; целые числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа.

В каждой из перечисленных множеств есть множества с отношениями и операциями для его элементов. В математике понятие натурального числа и операций над ними рассматриваются как система определений, аксиом, теорем.

Обычно выделяются два способа построения арифметики натуральных чисел:

1) На основании теорем (1875 – 1918 г Кант);

2) Аксиоматический способ (Пеано 1858 – 1932 г).

При первом способе числа называют символами, характеристические классы эквивалентных между собой множеств.

Натуральные числа по определению есть мощности не пустых конечных множеств. Мощность пустого множества принимается за ноль.

На основе понятия, теорем, вводится сравнение натуральных чисел, операция сложения связывается с объединением пересекающихся множеств. Умножение - результат сложения нескольких слагаемых равных между собой.

При аксиоматическом способе под натуральными числами понимают символы для которых введено оно основное отношение: «непосредственно следует за». И удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

1) Существует число 1, не следующее ни за каким натуральным числовм;

2) Для любого натурального числа а, существует непосредственно следующее за ним число а’ и при том только дно;

3) Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом;

4) Аксиома индукции. Если подмножество М множества натуральных чисел N содержит число 1, а вместе с числом а содержит число а’, то подмножество М совпадает со всем множеством N.

Операция сложения у сложения определены по Грассману (1809 – 1877).

Ни один из этих способов не может выть применим в школьном преподавании. Обобщение понятия числа пожжет строиться по разному, но при любой схеме обобщения понятия числа расширение должно обладать определенными свойствами. Если, например, множество А расширяется до множества В, то должны выполняться следующие условия:

1) А подмножество В;

2) Отношение и операции для элементов множества В, ранее известные для элементов множества А, должны быть определены так, чтобы их смысл для элементов их А рассматриваемых как элементы из В совпадал с тем, который они имели в А до расширения;

3) Во множестве В должна быть выполнена операция которая в А не была выполнена или не всегда выполнена;

4) Расширение должно быть минимальным из всех возможных расширений удовлетворяющих требованиям 1) 2) 3).

Известно, что множеств в удовлетворяющих всем четырем условиям можно построить много, но все они будут изоморфны между собой относительно введенных операций.

Понятие числа в школьном курсе математики.

В школьном курсе более распространенным является построение множества В присоединением к элементам множества А некоторых новых элеметов.

Примеры таких расширений это присоединение к множеству неотрицательных целых чисел, дробей, а затем еще и отрицательных чисел

Второе условие расширения можно кратко сформулировать как требование – не переучиваться. То что учащиеся уже хорошо усвоили не должно противоречить новым знаниям.

Только в комплексных числах это не выполняется. Комплексные числа не сравниваются, а дается лишь определение равенства двух комплексных чисел, а сравнение только модулей комплексных чисел.

Методика изучения натуральных чисел в школе.

Натуральные числа изучаются в начальной школе.

Методические особенности изучения темы:

1) Индуктивный характер изложения учебного материала, подход к общим понятиям на основе анализа конкретных фактов;

2) Сокращение числа формулировок для заучивания учащимися;

3) Усиленное внимание к выработке вычислительных навыков;

4) Стремление к наглядности;

5) Постоянное возвращение в задачах и теоретических вопросов к ранее изученному материалу.

Положительные дробные числа.

Пропедевтика – изучение материала до изучения систематического курса.

Пропедевтика обыкновенных дробей начинается в начальной школе. Школьники умеют находить доли числа 1/2, 1/3, 1/4, …, и восстанавливать число по известной доли.

В начальной школе уже знают: дробь, знаменатель дроби, числитель дроби, дроби сравниваются.

В 5 классе необходимо опираться на знание учеников полученные в начальной школе.

Подход к изучению вопроса носит индуктивный характер. Как правило к систематическому изучению дробей предшествует изучение десятичных дробей. Это обусловлено тем, что приняты десятичные системы исчисления.

Изучение десятичных дробей опирается на вопросы относящиеся к измерению величины в метрической системе мер.

Усвоенные знания должны быть совершенны т.к. ни них будет опираться новый материал. Исключительную роль при изучении дробей играют геометрические иллюстрации.

В 6 классе школьники начинают систематически изучать обыкновенные дроби. Начинается изучение с вопросов: простые числа, составные числа, разложение на множители, наименьшее общее кратное, НОД, ведется большая подготовительная работа.

Основная цель этих занятий – подготовить в выполнению арифметических действий над рациональными числами. На эту тему отводится 80 часов. При изучении этого материала следует менять формы работ со школьниками.

Школьники должны усвоить не только операции с рациональными числами но и изучить пропорцию, основные ее свойства, проценты.

Отрицательные числа.

Вопросы, связанные с отрицательными числами, наиболее трудны для школьников. История показывает, что отрицательные числа труднее вошли в математику и дались человечеству. А вот сложение и вычитание отрицательных чисел были понятны. А произведение нет.

Эйлер (1707 – 1783):

1) a>0, b>0, ab>0

2) a<0, b>0, ab<0

3) a>0, b<0, ab<0

4) a<0, b<0, ab>0

В четвертом случае + т.к. со знаком – уже два раза было.

Основная цель знакомства с историей помогает предвидеть трудности которые могут возникать при объяснении нового материла. С математической точки зрения введение отрицательных чисел особых затруднений не представляет. Наибольшую трудность в изучении отрицательных чисел представляет обоснование действий над ними. Учащиеся требуют доказательств правила знаков при умножении, а учитель не может дать доказательство этого правила, но должен суметь убедить учащихся что, такого доказательства нельзя искать или требовать.

Правило знаков, которое дается в школе, является своеобразной трактовкой определения операций умножения положительных и отрицательных чисел. А утверждения, которые являются определениями, не могут быть доказаны. Определение можно ввести по-разному:

1) Рассмотреть примеры, а потом дать определение. Недочет этого: ученики принимают примеры за доказательство, которые как правило они не понимают;

2) Дать определение, а потом дать пример.