Интерференция волн двух источников

Рассмотрим два точечных источника которые излучают сферически симметричные гармонические волны с одинаковой частотой

Определим волновую функцию в точке p. Так как волновое уравнение линейно то волновая функция в точку p линейна.

Сначала рассмотрим случай когда фазы колебаний источников одинаковы. Решить задачу в общем случае достаточно сложно. Поэтому рассмотрим приближение, когда точка p находится на большом расстояние от источника настолько большом, что можно считать, что амплитуда колебаний каждого источника одинаковы.

Выясним условия применимости такого приближения

(при выполнение нашего условия)

Если выполнить это условие то говорят, что можно пользоваться приближение далекого поля или волновой зоной.

Мы будем наблюдать гармоническую волновую функцию амплитуда которой будет:

- геометрическая разность хода

Условия максимальной амплитуды.

То есть геометрическая разность хода равна целому числу длин волн.

Условие минимальных амплитуд

Геометрическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн.

Рассмотрим более общий случай, когда два источника излучаю волны с различными начальными фазами.

Амплитуда в точке P

- начальная разность фаз

В этом случае условие максимальной амплитуды будет:

Определим угловое расстояние между двумя ближними максимумами. Условие максимума nго порядка:

Условие максимума n+1

Для малых углов , ,

Рассмотрим случай когда источники расположены далеко друг от друга d>>, тогда угловое расстояние между ближайшими максимумами

будет <<1

В § 1.3 было показано, что энергия колебаний пропорциональна A² поэтому энергия излучения двух источников будет пропорциональна , так как угловое расстояние между ближайшем максимум при мало то на не большом участке поверхности dS будет расположено большое количеством max и min амплитуд.

Поэтому средние значение энергии излучение на единицу площади поверхности будет

A-амплитуда излучения одного источника.

Таким образом если излучают 2 источника

Рассмотрим близко расположенные источника d<<1

Тогда

1 случай

2 случай

§ 2.5 Многолучевая интерференция.

Рассмотри N источников которые излучают сферические волны с одинаковой амплитудой:0

Рассмотрим между источниками d.

Определим волновую функцию в точке p находящеюся в волновой зоне.

При этом учтём

В точке p мы будем наблюдать волновую функцию с амплитудой

Рассмотрим случай когда Вычислим придел этой функции по, Лопиталю находим что . Точно также мы можем определить амплитуду волновой функции когда

При таких будут наблюдаться max амплитуды, которые называются главными. Если кроме N, 2N …..

условие минимума.

Если условие побочных максимумов.

Следует заметить, что А побочных максимумов неодинакова в отличии от главных

§ 2.6 Дифракция, принцип Гюйгенса

Рассмотрим точечный источник излучения S от которого распространяются сферические волны и которые находиться на большом расстояние от экрана с отверстием. Величина отверстия - D

Определим волновую функцию в точке p которая также находиться на большом расстояние от экрана, но с другой стороны.

Гюйгенс предположил, что волновая функция в точке p будет складываться из волн, функция излучения источника и волн функции от экрана

Если экран закрыть пробкой:

То волновая функция в точке p будет -волны функции от пробки
В результате сложения функций в точке p воловая функция будет равна 0.

То есть волновая функция в точке p,будет с точностью до знака совпадать с волновой функцией излучаемой только пробкой.

Гюйгенс предположил каждую точку волнового фронта в отверстие экрана рассматривать как источник «вторичных» волн.

Волновая функция в точке p, будет равна сумме вторичных волн.
Для того чтобы определить волновую функцию в точке p заметим что волновой фронт в отверстие экрана можно считать плоским так как источник находится на большом расстояние от него.
Разобьём поверхность волн фронта на точечные источники излучения

Каждый источник излучает сферическую волну с одинаковой амплитудой, частотой и одинаковой начальной фазой которую будем считать равной нулю. Так как точка p находиться в волновой зоне то можно допустить, что амплитуда волновой функции от каждого источника одинаковы.

Повторяем выводы § 2.5 получаем

Для того чтобы определить амплитуду волновой функции

в точке

Воспользуемся правилом Лопиталя.

Тогда

При рассмотрение открытой части волнового фронта мы предположим, что источников там очень много

И тогда и sin в знаменателе можно разложить в ряд

Тогда получаем:

Заметим, что амплитуда будет равна 0 если

То есть - условие минимума

Если то мы получим условие максимума

Следует заметить, что амплитуды побочных максимумов будут значительно меньше амплитуды центрального.

После экрана с отверстием мы будем наблюдать волну в виде расходящегося пучка.

Полученный пучок излучения принято характеризовать угловой шириной или расхождением пучка за величину которая выберают половина углового расстояния между ближайшими к нулю нулями амплитуд.