2014-02-09
8057
7.1. Правые и левые тройки векторов.
Три произвольных вектора 
, рассматриваемые в определенном порядке, называются упорядоченной тройкой. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов 
считается правой, если эти векторы расположены так же, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если они располагаются, как те же пальцы левой руки, то тройка называется левой.
7.2. Определение и свойства векторного произведения.
Опр. Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется такой третий вектор 
, который
1) 
имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : 
;
2) ортогонален каждому из векторов и ;
3) направлен так, что тройка векторов 
- правая.
Обозначение векторного произведения: 
или 
.
Свойства векторного произведения.
1) 
(антикоммутативность),
2) 
(распределительный закон),
3) Если 
и 
, то 
, в частности 
,
4) Векторное произведение ортов: 
, 
, 
.
Вообще произведение любых смежных векторов в последовательности 
дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности – со знаком «-».
|
|
|
5) Для любого вещественного числа 
справедливы соотношения:
6) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей 
, 
в декартовой прямоугольной системе координат.
=
7) Геометрический смысл модуля векторного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и : 
;
Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна 
.
Пример 1. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
, 
, если 
, 
, 
.
Решение. .
1) 
2) 
.
Пример 2. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах 
, 
Решение. 
1) Найдем вектор 
.
2) 
.
§8. Смешанное произведение векторов.
Опр. Смешанным произведением векторов 
называется скалярное произведение вектора 
на вектор , то есть число
.
Свойства смешанного произведения.
1. Если векторы 
, 
и 
заданы своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат, то смешанное произведение их вычисляется по формуле:
∆ Так как 
=
то 
=
=
▲
2. Смешанное произведение есть число положительное, если тройка перемножаемых векторов правая, и отрицательное, если – левая.
3. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется: 
.
4. От перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак: 
.
5. Скалярное и векторное умножения можно поменять местами: 
.
6. Числовой множитель можно выносить за знак смешанного произведения: 
7. Справедлив распределительный закон: 
.
8. Геометрический смысл смешанного произведения: в дпск модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах:
∆ Пусть некомпланарные векторы , и 
заданы в ортонормированном базисе. Перемножая 
получим вектор, модуль которого равен площади параллелограмма,
|
|
|
построенного на векторах 
Обозначим
единичный вектор того же направления 
Тогда 
где 
площадь
параллелограмма. Умножим этот вектор
скалярно на 
Но 
есть длина высоты параллелепипеда, взятая со знаком «+», если вектор расположен в том же полупространстве относительно плоскости 
что и вектор 
и со знаком «-«в противном случае. Таким образом: 
Если вектор в том же полупространстве, что и то есть тройка правая, то имеем знак «+». ▲
Объем пирамиды 
.
9. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.
Пример. Найдите объем тетраэдра с вершинами 
∆
▲
