Финансовая эквивалентность обязательств

На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т. д. Понятно, что такие изменения не могут быть произвольными. Поэтому возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

Принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины P и S. Сумма P эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена нав этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора ее размера. Пусть сравниваются два платежа и со сроками и , причем и . Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки.

P

P₁

P₂

0 i

i₀

С ростом размеры современных стоимостей уменьшаются, причем принаблюдается равенство . Для любой ставки имеем . Т.о. результат сравнения зависит от размера ставки, равного . Назовем эту ставку критической или барьерной. На основе равенства

находим

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства

Принцип финансовой эквивалентности реализуется с помощью построения уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок.

Консолидация платежей

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме и сроком . В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок , то находится сумма , и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа , то определяется срок . Рассмотрим обе постановки задачи.

Определение размера консолидированного платежа.

В общем случае, когда , искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

При применении простых процентных ставок получим

где - размеры объединяемых платежей со сроками , - размеры платежей со сроками ,

,

Для общего случая на основе сложных процентных ставок получим

Определение срока консолидированного платежа

Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа , то возникает проблема определения его срока . В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой процентной ставки это равенство имеет вид

, откуда

Очевидно, что решение может быть получено при условии, что , т.е. размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Кроме того, искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа.

Перейдем к определению срока консолидированного платежа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквивалентности запишем следующим образом

Для упрощения дальнейшей записи примем

После чего находим

Т.о. решение существует, если .