Стационарные и эргодические случайные процессы

Стационарный случайный процесс – это процесс, статистические характеристики которого одинаковы во всех временных сечениях.

Случайный процесс строго стационарен (или стационарен в узком смысле), если его многомерная плотность вероятности ( –произвольная размерность, ) не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сечений на одинаковую величину :

т.е.:

для любого .

Процесс стационарен в широком смысле, если такое свойство независимости от временного сдвига обеспечивается лишь для одномерной и двумерной плотности вероятности.

Для стационарного случайного процесс математическое ожидание и дисперсия не зависят от моментов времени и , а лишь от интервала между ними, т.е.

Также для стационарного процесса:

и, кроме того,

Коэффициент корреляции в этом случае:

Стационарным является любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями. Например, – стационарен, – случайная величина.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим (ergodic), если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению времени одной, теоретически бесконечной реализации.

Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия эргодического процесса – смысл мощности флуактуационной составляющей.

Достаточной условие эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом . Так, например, случайный процесс – является стационарным и эргодическим.